Teorema de Tales - Geometria

Motivação

Uma empresa de TV a cabo deseja instalar uma antena no topo da Torre Digital. Para isso, precisa saber qual a medida de cabo necessário para que ele chegue até a base da torre.

Esse tipo de problema é mais antigo do que imaginamos. Surgiu na idade antiga quando um faraó ofereceu uma recompensa para aquele que conseguisse calcular a altura de sua pirâmide.

De andada pelo Egito, estava Tales de Mileto, um grande matemático, que aceitou o desafio e buscou a solução aplicando os conhecimentos da matemática. Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos entre si, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos.

(Imagem piramide e estaca)

A partir disso, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para realizar tal façanha, ele fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a seguinte proporção:

\(\frac{{altura\_da\_estaca}}{{sombra\_da\_estaca}} = \frac{{altura\_da\_pirâmide}}{{sombra\_da\_pirâmide}}\)

Daí, surgiu o Teorema de Tales.

Teorema de Tales

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão(divisão) entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra.


\(\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {DE} }}{{\overline {EF} }}\)

 

Exemplos:

Nas figuras, as retas r, s e t são paralelas. Determine o valor de x.

a)

Resolução:
\(\begin{array}{c}
\frac{4}{6} = \frac{x}{5}\\
6 \cdot x = 4 \cdot 5\\
6x = 20\\
x = \frac{{20}}{6}\\
x = \frac{{10}}{3}
\end{array}\)

b)


teorema_de_tales_ex_2

Resolução:
\(\begin{array}{c}
\frac{{2x + 4}}{{5x + 1}} = \frac{4}{7}\\
4 \cdot \left( {5x + 1} \right) = 7 \cdot \left( {2x + 4} \right)\\
4 \cdot 5x + 4 \cdot 1 = 7 \cdot 2x + 7 \cdot 4\\
20x + 4 = 14x + 28\\
20x - 14x = 28 - 4\\
6x = 24\\
x = \frac{{24}}{6}\\
x = 4
\end{array}\)

 

Voltando para a situação hipotética. E então, qual é a medida do cabo necessária para instalar uma antena no topo da Torre Digital?

Continue acompanhando o blog Matematicazup. Em breve, a continuação dessa história.

Comentários

  1. Rafaela

    Mt obg estou gostando mt da sua ajuda

  2. Milena andrade

    eu queria saber se tem como explicar algo que fique mas claro pra mim entender tenho dificudade de aprender..

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