Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci é uma sucessão de números que obedecem um padrão em que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…

A sequência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula:

\({ F }_{ n }={ F }_{ n-1 }+{ F }_{ n-2 }\)

Assim, temos:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

e assim sucessivamente.

 

Mas agora, reflita sobre o seguinte:

O que há em comum entre pinturas do período renascentista, obras arquitetônicas da Antiguidade Clássica, a estrutura espiral de conchas de alguns seres vivos marinhos e o crescimento populacional?

Sim! Ela mesmo!

A sequência de Fibonacci se originou em um estudo sobre cálculo da multiplicação de coelhos e foi apresentada em seu primeiro livro, Liber abaci, como solução para o crescimento populacional de coelhos

O objetivo era responder a seguinte pergunta:

Sequência de Fibonacci

Quantos pares de coelhos existirão daqui a um ano?

( E ai, sabe como resolver isso? Deixe seu comentário)

 

A sequência de Fibonacci corresponde às medidas dos lados dos quadrados que montam a espiral logarítmica muito encontrada em formas da natureza como a do molusco náutico ( Nautilus pompilius) e na distribuição de pétalas de diversas flores. Foi identificada pelo matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250) em seu livro Liber Abaci, de 1202, quando calculou o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.

Sequência de Fibonacci

 

Leonardo de Pisa que por ser filho de Guglielmo dei Bonacci também era chamado de Leonardo Fibonacci (filho de Bonacci), viajou para o Egito, Síria e Grécia por conta dos negócios de seu pai. Teve um professor muçulmano que lhe transmitiu os conhecimentos matemáticos dos árabes e dos hindus. O Liber Abaci ( Livro do Ábaco) também teve grande importância na divulgação, na Europa, do sistema de numeração criado pelos hindus.

Sequência de Fibonacci

Liber Abaci foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever os algarismos arábicos, introduzindo na Europa a numeração árabe ( em substituição a numeração romana) e esclarecendo o funcionamento desta numeração e do zero.

 

O Número de Ouro φ

Em 1753, o escocês Robert Simson descobriu que dividindo-se esses números pelos seus antecessores ( que vêm antes) obtém-se uma sequência de frações cuja a razão se aproxima de φ (Phi).

\(\frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 1 } ,\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 3 } ,\frac { 8 }{ 5 } ,\frac { 13 }{ 8 } ,\frac { 21 }{ 13 } …\)

 

que ficou conhecida como razão áurea φ = 1,61803398874989…

O número de ouro ou proporção áurea é uma razão representada pelo número Φ (Phi) e é um número irracional.

Acredita-se que Deus deixou sua marca no mundo através da matemática, ou seja, usou ela para construir a simetria existente em tudo. Essa simetria é representada pelo o número de ouro e simboliza o referencial de beleza.

Sequência de Fibonacci

Por representar a divina proporção, é muito utilizado no design, na arte, na arquitetura, no tamanho dos cartões de créditos, das caixas de cigarro e dos outdoors.

Curiosamente, o número de ouro está inserido em tudo que podemos imaginar: seres humanos, músicas, natureza, arquitetura, etc.

Todas as fórmulas de Fibonacci podem ser encontradas aqui.

 

Aplicações da Sequência de Fibonacci

 

Análise de mercados financeiros

O uso da sequência de Fibonacci no mercado de ações foi desenvolvido por Ralph Nelson Elliott (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque. Elliot concluiu que existem relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa e estas tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

E assim, é possível calcular e prever pontos de inflexão no mercado de commodities, analisar ciclos econômicos e identificar momentos lucrativos na taxa de juros.

 

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com a sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

Pintura e Arte

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a Proporção Áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.
Sequência de Fibonacci
Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.
O número de ouro também está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.

 

Anatomia e o Homem Vitruviano

Leonardo Da Vinci acreditava na perfeição da figura humana e considerava as medidas e o funcionamento do corpo humano como uma analogia das medidas e funcionamento do universo, todas conectadas pela proporção do número de ouro.

Sequência de Fibonacci

Arquitetura

Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética.
Sequência de Fibonacci
Na imagem acima, a fachada dessa obra, hoje em ruínas, está sobreposta por formas retangulares. Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão φ = 1,618034…

 

 

Ramos de troncos em árvores

Uma planta em particular, mostra os números da sequência de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta nasce leva dois meses para crescer até que as ramificações fiquem suficientemente fortes. Sabendo que após este período a planta se ramifica todos os meses, obtemos a seguinte figura:

Sequência de Fibonacci

Uma planta que cresce de forma semelhante a esta, é a espirradeira (oleandro, louro rosa) ou cevadilha.

 

Desafio

Na tabela abaixo, cada número é sempre a soma dos dois que vêm antes dele. Alguns números já estão no lugar, qual é o número da última casa?
Sequência de Fibonacci

Que tal praticar agora?

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Exercício de Sequência de Fibonacci

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Comentários

  1. Joana Castro

    Cadê o vídeo completo que você disse que ia estar aqui, sobre a sequência de Fibonacci e o problema dos coelhos?

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