Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci

Sequência de Fibonacci é uma sucessão de números que obedecem um padrão em que cada elemento subsequente é a soma dos dois anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…

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A sequência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula:

\({ F }_{ n }={ F }_{ n-1 }+{ F }_{ n-2 }\)

Assim, temos:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

e assim sucessivamente.

 

Mas agora, reflita sobre o seguinte:

O que há em comum entre pinturas do período renascentista, obras arquitetônicas da Antiguidade Clássica, a estrutura espiral de conchas de alguns seres vivos marinhos e o crescimento populacional?

Sim! Ela mesmo!

A sequência de Fibonacci se originou em um estudo sobre cálculo da multiplicação de coelhos e foi apresentada em seu primeiro livro, Liber abaci, como solução para o crescimento populacional de coelhos

O objetivo era responder a seguinte pergunta:

Sequência de Fibonacci

Quantos pares de coelhos existirão daqui a um ano?

( E ai, sabe como resolver isso? Deixe seu comentário)

 

A sequência de Fibonacci corresponde às medidas dos lados dos quadrados que montam a espiral logarítmica muito encontrada em formas da natureza como a do molusco náutico ( Nautilus pompilius) e na distribuição de pétalas de diversas flores. Foi identificada pelo matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250) em seu livro Liber Abaci, de 1202, quando calculou o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.

Sequência de Fibonacci

 

Leonardo de Pisa que por ser filho de Guglielmo dei Bonacci também era chamado de Leonardo Fibonacci (filho de Bonacci), viajou para o Egito, Síria e Grécia por conta dos negócios de seu pai. Teve um professor muçulmano que lhe transmitiu os conhecimentos matemáticos dos árabes e dos hindus. O Liber Abaci ( Livro do Ábaco) também teve grande importância na divulgação, na Europa, do sistema de numeração criado pelos hindus.

Sequência de Fibonacci

Liber Abaci foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever os algarismos arábicos, introduzindo na Europa a numeração árabe ( em substituição a numeração romana) e esclarecendo o funcionamento desta numeração e do zero.

 

O Número de Ouro φ

Em 1753, o escocês Robert Simson descobriu que dividindo-se esses números pelos seus antecessores ( que vêm antes) obtém-se uma sequência de frações cuja a razão se aproxima de φ (Phi).

\(\frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 1 } ,\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 3 } ,\frac { 8 }{ 5 } ,\frac { 13 }{ 8 } ,\frac { 21 }{ 13 } …\)

 

que ficou conhecida como razão áurea φ = 1,61803398874989…

O número de ouro ou proporção áurea é uma razão representada pelo número Φ (Phi) e é um número irracional.

Acredita-se que Deus deixou sua marca no mundo através da matemática, ou seja, usou ela para construir a simetria existente em tudo. Essa simetria é representada pelo o número de ouro e simboliza o referencial de beleza.

Sequência de Fibonacci

Por representar a divina proporção, é muito utilizado no design, na arte, na arquitetura, no tamanho dos cartões de créditos, das caixas de cigarro e dos outdoors.

Curiosamente, o número de ouro está inserido em tudo que podemos imaginar: seres humanos, músicas, natureza, arquitetura, etc.

Todas as fórmulas de Fibonacci podem ser encontradas aqui.

 

Aplicações da Sequência de Fibonacci

 

Análise de mercados financeiros

O uso da sequência de Fibonacci no mercado de ações foi desenvolvido por Ralph Nelson Elliott (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque. Elliot concluiu que existem relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa e estas tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

E assim, é possível calcular e prever pontos de inflexão no mercado de commodities, analisar ciclos econômicos e identificar momentos lucrativos na taxa de juros.

 

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com a sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

Pintura e Arte

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a Proporção Áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.
Sequência de Fibonacci
Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.
O número de ouro também está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.

 

Anatomia e o Homem Vitruviano

Leonardo Da Vinci acreditava na perfeição da figura humana e considerava as medidas e o funcionamento do corpo humano como uma analogia das medidas e funcionamento do universo, todas conectadas pela proporção do número de ouro.

Sequência de Fibonacci

Arquitetura

Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética.
Sequência de Fibonacci
Na imagem acima, a fachada dessa obra, hoje em ruínas, está sobreposta por formas retangulares. Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão φ = 1,618034…

 

 

Ramos de troncos em árvores

Uma planta em particular, mostra os números da sequência de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta nasce leva dois meses para crescer até que as ramificações fiquem suficientemente fortes. Sabendo que após este período a planta se ramifica todos os meses, obtemos a seguinte figura:

Sequência de Fibonacci

Uma planta que cresce de forma semelhante a esta, é a espirradeira (oleandro, louro rosa) ou cevadilha.

 

Desafio

Na tabela abaixo, cada número é sempre a soma dos dois que vêm antes dele. Alguns números já estão no lugar, qual é o número da última casa?
Sequência de Fibonacci

Veja também: Toda Matemática Básica

Vamos praticar? Resolva o exercício online sobre Sequência de Fibonacci. Ao final você recebe sua nota.

Veja também: Todos Exercícios de Matemática

Donald no País da Matemágica e O Número de Ouro

Assista um ótimo filme que aborda a Sequência de Fibonacci.

Inscreva-se: Canal Matemática Zup

A sequência de Fibonacci é definida pela seguinte fórmula:

\({ F }_{ n }={ F }_{ n-1 }+{ F }_{ n-2 }\)

Assim, temos:

1 + 1 = 2

2 + 1 = 3

3 + 2 = 5

5 + 3 = 8

8 + 5 = 13

e assim sucessivamente.

 

Mas agora, reflita sobre o seguinte:

O que há em comum entre pinturas do período renascentista, obras arquitetônicas da Antiguidade Clássica, a estrutura espiral de conchas de alguns seres vivos marinhos e o crescimento populacional?

Sim! Ela mesmo!

A sequência de Fibonacci se originou em um estudo sobre cálculo da multiplicação de coelhos e foi apresentada em seu primeiro livro, Liber abaci, como solução para o crescimento populacional de coelhos

O objetivo era responder a seguinte pergunta:

Sequência de Fibonacci

Quantos pares de coelhos existirão daqui a um ano?

( E ai, sabe como resolver isso? Deixe seu comentário)

 

A sequência de Fibonacci corresponde às medidas dos lados dos quadrados que montam a espiral logarítmica muito encontrada em formas da natureza como a do molusco náutico ( Nautilus pompilius) e na distribuição de pétalas de diversas flores. Foi identificada pelo matemático italiano Leonardo de Pisa (1170-1250) em seu livro Liber Abaci, de 1202, quando calculou o crescimento das populações de coelhos a partir de um casal.

Sequência de Fibonacci

 

Leonardo de Pisa que por ser filho de Guglielmo dei Bonacci também era chamado de Leonardo Fibonacci (filho de Bonacci), viajou para o Egito, Síria e Grécia por conta dos negócios de seu pai. Teve um professor muçulmano que lhe transmitiu os conhecimentos matemáticos dos árabes e dos hindus. O Liber Abaci ( Livro do Ábaco) também teve grande importância na divulgação, na Europa, do sistema de numeração criado pelos hindus.

Sequência de Fibonacci

Liber Abaci foi um dos primeiros livros ocidentais a descrever os algarismos arábicos, introduzindo na Europa a numeração árabe ( em substituição a numeração romana) e esclarecendo o funcionamento desta numeração e do zero.

 

O Número de Ouro φ

Em 1753, o escocês Robert Simson descobriu que dividindo-se esses números pelos seus antecessores ( que vêm antes) obtém-se uma sequência de frações cuja a razão se aproxima de φ (Phi).

\(\frac { 1 }{ 1 } ,\frac { 2 }{ 1 } ,\frac { 3 }{ 2 } ,\frac { 5 }{ 3 } ,\frac { 8 }{ 5 } ,\frac { 13 }{ 8 } ,\frac { 21 }{ 13 } …\)

 

que ficou conhecida como razão áurea φ = 1,61803398874989…

O número de ouro ou proporção áurea é uma razão representada pelo número Φ (Phi) e é um número irracional.

Acredita-se que Deus deixou sua marca no mundo através da matemática, ou seja, usou ela para construir a simetria existente em tudo. Essa simetria é representada pelo o número de ouro e simboliza o referencial de beleza.

Sequência de Fibonacci

Por representar a divina proporção, é muito utilizado no design, na arte, na arquitetura, no tamanho dos cartões de créditos, das caixas de cigarro e dos outdoors.

Curiosamente, o número de ouro está inserido em tudo que podemos imaginar: seres humanos, músicas, natureza, arquitetura, etc.

Todas as fórmulas de Fibonacci podem ser encontradas aqui.

 

Aplicações da Sequência de Fibonacci

 

Análise de mercados financeiros

O uso da sequência de Fibonacci no mercado de ações foi desenvolvido por Ralph Nelson Elliott (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque. Elliot concluiu que existem relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa e estas tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

E assim, é possível calcular e prever pontos de inflexão no mercado de commodities, analisar ciclos econômicos e identificar momentos lucrativos na taxa de juros.

 

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal e o triângulo de Pitágoras também se relacionam com a sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

Pintura e Arte

A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a Proporção Áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, bem como nos elementos da face. Medições feitas por computador mostraram que os olhos de Mona Lisa estão situados em subdivisões áureas da tela.
Sequência de Fibonacci
Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Troia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro.
O número de ouro também está presente em diversas obras de compositores clássicos, sendo o exemplo mais notável a famosa sinfonia n.º 5, de Ludwig van Beethoven.

 

Anatomia e o Homem Vitruviano

Leonardo Da Vinci acreditava na perfeição da figura humana e considerava as medidas e o funcionamento do corpo humano como uma analogia das medidas e funcionamento do universo, todas conectadas pela proporção do número de ouro.

Sequência de Fibonacci

Arquitetura

Obras da arquitetura clássica, como o Parthenon, revelam o uso da razão áurea na busca de uma harmonia estética.
Sequência de Fibonacci
Na imagem acima, a fachada dessa obra, hoje em ruínas, está sobreposta por formas retangulares. Se dividirmos as medidas dos lados maiores pelas medidas dos lados menores desses retângulos, obteremos números próximos da razão φ = 1,618034…

 

 

Ramos de troncos em árvores

Uma planta em particular, mostra os números da sequência de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta nasce leva dois meses para crescer até que as ramificações fiquem suficientemente fortes. Sabendo que após este período a planta se ramifica todos os meses, obtemos a seguinte figura:

Sequência de Fibonacci

Uma planta que cresce de forma semelhante a esta, é a espirradeira (oleandro, louro rosa) ou cevadilha.

 

Desafio

Na tabela abaixo, cada número é sempre a soma dos dois que vêm antes dele. Alguns números já estão no lugar, qual é o número da última casa?
Sequência de Fibonacci

Veja também: Toda Matemática Básica

Vamos praticar? Resolva o exercício online sobre Sequência de Fibonacci. Ao final você recebe sua nota.

Veja também: Todos Exercícios de Matemática

Donald no País da Matemágica e O Número de Ouro

Assista um ótimo filme que aborda a Sequência de Fibonacci.

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DESAFIO COM PALITOS

DESAFIO COM PALITOS

Aqui você vai encontrar 101 jogos de raciocínio lógico geométrico com palitos de fósforos e suas soluções resolvidas.

CONSIDERAÇÕES IMPORTANTE:
“Mover” um palito de fósforo significa mudá-lo de posição sem alterar o número total de palitos.
“Retirar” um palito de fósforo significa que ele não fará parte da resposta, portanto, ficará reduzido o número de palitos dados no enunciado do problema.
“Acrescentar” um palito de fósforo significa que o número total dado no enunciado será aumentado quando da resposta.

Desafio com palitos #000

Mova 2 palitos e forme 4 triângulos

Próximo → Desafio com palitos 1

Desafio com palitos são como quebra-cabeças, também conhecidos como “Puzzles”. Desde muito tempo, pais utilizavam jogos de palitos para estimular o pensamento lógico e desenvolver o raciocínio lógico de seus filhos. Por ser uma atividade lúdica e serem utilizados apenas palitos de fósforo na sua resolução, desafios com palitos têm sido praticados em quase todo o mundo, uma vez que exige o mínimo de recurso ( apenas uma caixa de fósforo).

Veja também:

Como disse o matemático alemão Leibniz:

“Os jogos auxiliam a inteligência. Nos jogos o espírito humano se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso inteiro de jogos tratados matematicamente”.

Este artigo pode servir de recurso didático para professores de matemática utilizarem em suas aulas, tornando-as mais divertidas e atraentes com jogos educativos de matemática. Podendo ser abordado desde o ensino fundamental para estimular a noção de espaços e formas sendo tratado como desafios e brincadeiras pelas crianças e no ensino médio para consolidar os conceitos e definições das formas geométricas em geometria, assim como no ensino superior em disciplinas como Lógica. Além disso, esses tipos de problemas são muito comuns em concursos públicos que cobram raciocínio lógico. ( Se for o seu caso, fiz uma postagem com 10 livros de raciocínio lógico e 10 livros de matemática para concursos. Vale a pena conferir!)

Colocar os alunos diante de situações de jogos pode ser uma boa estratégia para aproximá-lo dos conteúdos estudados na escola como também estar promovendo o desenvolvimento de novas formações cognitivas e o desenvolvimento do raciocínio independente.

 

Benefícios ao utilizar desafios com palitos:

  • Construir, identificar, diferenciar, reconhecer e comparar formas geométricas;
  • Estimular a curiosidade em relação as figuras dos quadrados, triângulos e polígonos;
  • Desenvolver habilidades de raciocínio como organização, atenção e concentração;
  • Fortalecer a personalidade, uma vez que o medo de errar será eliminado pela vontade de acertar;
  • Estimular a criatividade.

 

“Afinal de contas, o que é a Matemática senão a solução de quebra-cabeças? E o que é a Ciência senão um esforço sistemático para obter respostas cada vez melhores para os quebra-cabeças impostos pela natureza?” (MARTIN GARDNER)

Chega de teoria e vamos para prática, que comece os jogos de palitos!